Optimal Partition Problems and Applications to Kreĭn–Feller Operators and Quantization Problems

Abstract

Wir untersuchen die untere und obere Partitionsentropie bezüglich bestimmter Mengenfunktionen, die auf der Menge der $d$-dimensionalen dyadischen Würfel definiert sind. Zu diesem Zweck führen wir den neuen Begriff der Partitionsfunktion ein, der das bekannte $L^q$-Spektrum verallgemeinert. Wir finden eine Formel für die obere Partitionsentropie in Form der Nullstelle der zugehörigen Partitionsfunktion. Außerdem stellen wir eine Verbindung zwischen der Partitionsentropie und den klassischen Arbeiten von Solomjak und Birman und Borzov her und verbessern damit klassische Ergebnisse. Darüber hinaus stellen wir Regularitätsbedingungen auf, die garantieren, dass die untere und obere Partitionsentropie übereinstimmen. Aufbauend auf diesen allgemeinen Ergebnissen sind wir in der Lage, einen einheitlichen Rahmen zur Berechnung der oberen Spektraldimension von Kreĭn-Feller-Operatoren unter Berücksichtigung Neumann-Randbedingungen sowie der oberen Quantisierungsdimension zu entwickeln. Weiter können wir so Regularitätsbedingungen aufstellen, die sicherstellen, dass die untere und obere Spektraldimension sowie die untere und obere Quantisierungsdimension übereinstimmen. Die Ergebnisse werden durch eine Reihe von Beispielen veranschaulicht. Insbesondere beweisen wir, dass die Spektraldimension und die Quantisierungsdimension bezüglich selbstkonformer Maße mit und ohne Separierungsbedingungen existieren und mit Hilfe des $L^q$-Spektrums berechnet werden können. Es werden mehrere untere und obere Schranken für die untere und obere Spektraldimension sowie für die untere und obere Quantisierungsdimension in Abhängigkeit des $L^q$-Spektrums des zugrunde liegenden Maßes bewiesen, insbesondere erhalten wir scharfe Schranken in Abhängigkeit der oberen Minkowski-Dimension des Trägers des zugrunde liegenden Maßes. Des Weiteren geben wir erste Beispiele an, in denen die obere und untere Spektraldimension nicht übereinstimmen.