Eine konsistente Plattentheorie zweiter Ordnung für monotropes Material

Abstract

In der Arbeit wird eine Flächentragwerkstheorie für eine homogen monotrope, linear elastische Platte konstanter Dicke modelliert. Die Theorie berücksichtigt dabei Schubspannungseinflüsse. Eine solche Theorie wird als Theorie zweiter Ordnung, oder als Theorie vom Reissnerschen Typ bezeichnet. Die Modellierung basiert auf dem Ansatz der konsistenten Approximation. Ein besonderer Schwerpunkt wird in der Arbeit auf eine mathematisch rigorose Modellierung gelegt. Zunächst leitet man aus den Grundgleichungen der dreidimensionalen linearen Elastizitätstheorie äquivalente zweidimensionale Formulierungen mittels Fourier-Reihenentwicklungen bezüglich einer Basis aus skalierten Legendre-Polynomen in Dickenrichtung der Platte ab. Durch den konsistenten Abbruch der entstehenden Potenzreihen des Quadrates des Plattenparameters gelangt man zu einer Hierarchie von partiellen Differentialgleichungssystemen steigender Approximationsgenauigkeit. Die Anzahl der Unbekannten Verschiebungskoeffizientenfunktionen steigt mit dem Grad der Approximationsgenauigkeit. Durch eine Pseudoreduktion wird die Anzahl der Unbekannten anschließend wieder reduziert, was jedoch die Ordnung der partiellen Differtialgleichungen erhöht. Die finale Theorie ist ein gekoppeltes System zweier Differtialgleichungen in zwei Unbekannten. Für den Spezialfall der Isotropie ist die Theorie als Approximation erster Ordnung der Kichhoff-Theorie und als Approximation zweier Ordnung der Reissner-Mindlin-Theorie äquivalent.